Свое название монастырь получил от имени первого архиепископа Сербского святого Саввы, трудами которого в начале XIII в. здесь возведена небольшая церковь. Монастырь расположился на берегу красивейшей Которской бухты, в 2 км от города Герцег Нови. А само это место по праву называют православной душой Боки-Которской.
Монастырь является одним из древнейших, начало строительства которого восходит к 1030 г. Сегодня монастырский комплекс включает в себя три храма и келейный корпус. На его территории расположено и два старинных кладбища, на одном из которых (верхнем) и сохранилась первоначальная монастырская постройка — Малая Успенская церковь, обновленная в 1831 г. и расписанная фресками XVI в.
Большой Успенский собор здесь был построен в 1777—1799 гг. под руководством архитектора Николы Форетича и протомастера Георгия, с острова Корчула. В 2009 г. собору исполнилось 210 лет со дня его торжественного освящения. В нем и хранится главная монастырская святыня — чудотворная Савинская икона Божией Матери, празднование которой совершается всем православным миром 28 августа, на Успение Пресвятой Богородицы. Прославилась икона своим заступничеством в конце XVIII в. В то время Которской бухтой владели всесильные венецианцы, которые всячески боролись с православием, насаждая везде католичество. Согласно историческим сведениям, когда строительство монастыря уже подходило к концу, власти послали военные корабли с целью разрушить новую обитель огнем корабельных пушек. Получив это известие, архимандрит Макарий обратился к православным жителям Которской бухты с призывом спасти монастырь. Собравшиеся миряне долго, терпеливо и непрестанно молились пред иконой Пресвятой Богородицы, на помощь которой они надеялись, с просьбой о спасении возведенного монастыря. И когда венецианские корабли почти вплотную приблизились к монастырю и уже приготовились к стрельбе, небо внезапно нахмурилось, налетели черные тучи, загремел раскатистый гром, и заблистали грозные молнии, а одна из них ударила прямо в пороховой склад капитанского корабля. Судно сразу взорвалось, а вся его команда погибла в морских волнах. Остальные суда в страхе повернули обратно. Так чудесным заступничеством Богородицы была спасена православная святыня.
В монастыре хранится скорбная память от русского пребывания в Далмации. Когда в 1806—1807 гг. край освобождался от наполеоновских войск, погибших моряков и солдат эскадры адмирала Д.Н. Сенявина почетно захоронили на монастырском кладбище. После революции 1917 г. в этих местах находили последний приют и многие русские эмигранты. Сохранилась могила одного из них, донского казака станицы Вешенской Александра Бокова, похороненного здесь в 1953 г.
В 1903—1904 гг. монастырь часто навещал святой Николай (Велимирович), бывший в г. Герцег-Нови учителем Закона Божиего. После своего отъезда из монастыря он напишет книгу воспоминаний, в которой посвятит Савинскому монастырю следующие строки: «Вся Бока прекрасна, каждый ее уголок удивителен, но одно место красивейшее, один приют святейший, на одном небольшом месте поместил Творец Вселенной все красоты природы. Это место, этот малый Эдем — монастырь Савина».
В монастыре до сих пор сохраняются святыни героических времен династии Неманичей: саван из Тврдошского монастыря, останки жены царя Сербии Душана, посеребренная рука королевы Джелены и другие святыни. В богатой монастырской ризнице хранится хрустальный крест в серебряном окладе, украшенный также четырьмя рубинами, по преданию, принадлежавший самому святому Савве (XIII в.), большая икона Николая Чудотворца XVIII в. и много церковных предметов из монастырей Милешево (Сербия) и Тврдош (Герцеговина).
Славу монастыря составляет и его книгохранилище. Монастырское книжное собрание насчитывает более 5 тыс. книг, из которых около 50 составляют редчайшие рукописные. Среди них можно назвать Евангелие 1375 г., Октоихпятигласник 1509 г., знаменитую Савинскую кормчую XVI в. и «Букварь Негоша», отпечатанный в России в 1692 г. Именно по нему в 1820-х гг. обучался грамоте у монастырских монахов будущий великий черногорский поэт и митрополит Петр II Петрович Негош.
Из произведений живописи интерес представляет портрет молодого Петра Великого, привезенный в 1831 г. из России.
Монашествующая братия сегодня здесь небольшая — около 10 человек, но здесь бережно сохраняются православные традиции и страницы славного национального прошлого.