Родился 31 января (13 февраля) 1917 г. в д. Запрудная Раменского района Московской обл., из крестьян, русский.
Окончил Индустриально-педагогический техникум в 1936 г., Орловское бронетанковое училище — в 1939 г., Военно-политическое училище — в 1941 г., Курсы переподготовки военкомов в 1942 г., академические Курсы усовершенствования старшего офицерского состава — в 1943 г. Военную академию бронетанковых и механизированных войск — в 1951 г. и Военную академию Генерального штаба — в 1958 г.
В Вооруженные Силы «поступил добровольно 1 сентября 1937 г. через Звенигородский военкомат Московской области»; после училища был политруком роты (сентябрь 1939 г. — октябрь 1940 г.).
В годы Великой Отечественной войны — политрук роты (август 1941 г. — январь 1942 г.), военком батальона (май-октябрь 1942 г.), командир батальона (по декабрь 1942 г.), заместитель командира полка (по июнь 1943 г.), заместитель и исполняющий обязанности командира танковой бригады на 1-м Украинском фронте (октябрь 1943 г. — май 1945 г.).
Командир 4-го танкового корпуса генерал-лейтенант танковых войск Полубояров П.П. в боевой характеристике заместителя командира 14-й гвардейской танковой бригады в 1944 г. отмечал, что "в период напряженных боев, когда выбыл из строя командир бригады, т. Куркоткин принял командование бригадой на себя. Под его умелым руководством бригада отлично выполняла сложные боевые задачи..., нанесла крупные поражения в живой силе и технике противнику, со своей стороны не потеряв ни одного танка".
После войны С.К. Куркоткин — командир танкового полка (по октябрь 1946 г.), заместитель (май 1951 г. — декабрь 1952 г.) и командир танковой дивизии (по октябрь 1956 г.). С февраля 1959 г. по июнь 1960 г. — командир армейского корпуса, с июня 1960 г. по август 1966 г. — командующий армией.
Командующий войсками Белорусского военного округа генерал армии Пеньковский В.А., аттестуя в 1962 г. командующего 5-й гвардейской танковой армией, писал:"... говорят — молодой и растущий. Здоров, молод, хорошая подготовка, спокоен, дисциплинирован, достаточно авторитетен, посредственно активен, любознателен... Главным недостатком т. Куркоткина является слабая требовательность...".
С августа 1966 г. по апрель 1968 г. он первый заместитель Главнокомандующего Группы советских войск в Германии, с апреля 1968 г. по сентябрь 1971 г. -командующий войсками Закавказского военного округа, с сентября 1971 г. по июль 1972 г. — Главнокомандующий Группы советских войск в Германии.
С июля 1972 г. по апрель 1988 г. — заместитель министра обороны СССР — начальник Тыла Вооруженных Сил СССР, с мая 1988 г. по сентябрь 1990 г. — генеральный инспектор Группы генеральных инспекторов Министерства обороны СССР.
С.К. Куркоткину присвоено звание Героя Советского Союза (31.05.1980 г.). Он награжден 4 орденами Ленина (31.10.1967 г., 11.02.1977 г., 31.05.1980 г., 19.02.1986 г.); орденом Октябрьской Революции (05.1972 г.); 3 орденами Красного Знамени (19.02.1942 г., 31.01.1943 г., 7.10.1944 г.), 2 орденами Отечественной войны I степени (18.05.1944 г., 6.04.1985 г.), орденами Кутузова II степени (04.1945 г.), Богдана Хмельницкого II степени (05.1945 г.), и Красной Звезды (20.04.1953 г.), а также 19 медалями и 27 орденами и медалями иностранных государств.
Воинские звания: полковник — присвоено 20 апреля 1950 г., генерал-майор танковых войск — 3 мая 1955 г., генерал лейтенант танковых войск — 22 февраля 1963 г., генерал-полковник-24 февраля 1967 г., генерал армии -3 ноября 1972 г., Маршал Советского Союза — 25 марта 1983 г.
Член КПСС с 1940 г., член ЦК КПСС с 1976 г., депутат Верховного Совета СССР с 1970 г.
Умер С.К. Куркоткин 16 сентября 1990 г. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.